Strategy · 다섯 갈래
꺼내 쓰는 순서가 있다
항상 ① 공통인수부터 확인하고, 그다음 ②~⑤ 를 식의 생김새에 맞게 적용한다.
①
공통인수 묶기
모든 항의 공통 문자·계수를 앞으로. 가장 먼저.
②
공식 뒤집기
$(a\pm b)^2,\ a^2-b^2,\ (a\pm b)^3,\ a^3\pm b^3$
③
치환
반복되는 덩어리를 한 문자로 치환해 차수를 낮춘다.
④
조립제법 + 인수정리
$P(\alpha)=0$ 인 $\alpha$ 를 찾아 $x-\alpha$ 로 떼어 낸다.
⑤
내림차순 정리
여러 문자는 한 문자에 대해 내림차순으로 정리.
Core · 공식 역변환
곱셈공식을 뒤집은 다섯
① $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$
② $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
③ $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$
④ $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
⑤ $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
치환 맛보기. $x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ — $A^2-B^2$ 꼴을 만든 뒤 합·차의 곱으로.
Method · 삼차 이상
조립제법 + 인수정리
예: $P(x)=x^3-7x-6$
1
후보 찾기
상수항 −6의 약수 ±1,±2,±3,±6 중 $P(-1)=-1+7-6=0$
2
조립제법
$\alpha=-1$ 로 나누면 몫 $x^2-x-6$
3
이차식 인수분해
$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$
4
완성
$P(x)=(x+1)(x+2)(x-3)$
Examples · 예제
예제
예제 1 — $x^3+9x^2+27x+27$
$(a+b)^3$ 형태, $a=x,b=3$ → $(x+3)^3$.
예제 2 — $a^3-8b^3$
$a^3-(2b)^3=(a-2b)(a^2+2ab+4b^2)$.
예제 3 — 치환: $(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12$
$X=x^2+x$ → $X^2-8X+12=(X-2)(X-6)=(x^2+x-2)(x^2+x-6)=(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)$.
예제 4 — 조립제법: $x^3-3x^2-4x+12$
$P(2)=0$ → $(x-2)(x^2-x-6)=(x-2)(x+2)(x-3)$.
Challenge · 전략 분류
먼저 쓸 전략은?
아래 식에 가장 먼저 쓸 전략의 번호(① 공통인수 · ② 공식 · ③ 치환 · ④ 조립제법 · ⑤ 내림차순)를 입력하세요.
$2x^3-4x^2+2x$
$x^3+27$
$(x^2+x)^2-3(x^2+x)-4$
$x^3-2x^2-5x+6$
Practice · 연습
연습 & 무한 연습
01★
$x^2-9$ 를 인수분해하여라.
02★
$x^2+4x+4$ 를 인수분해하여라.
03★★
$x^3-8$ 을 인수분해하여라.
04★★
$x^3-7x-6$ 을 인수분해하여라. (작은 인수부터)
무한 연습 — 이차식 인수분해
$(x+a)(x+b)$ 꼴로 인수분해할 때 $a, b$ 를 작은 수부터 콤마로 입력하세요. (예: -1,4)
전개의 반대편
공통인수 → 공식 → 치환 → 조립제법 → 내림차순.
이 순서대로 꺼내 쓰면 길을 잃지 않는다.
"Factoring is multiplication, read backwards."